車を売ったお金で、次の車を買う予定なのですが、車を手放してから

車を売ったお金で、次の車を買う予定なのですが、車を手放してからお金が入るまで少し期間あると思いますが、その間はレンタカーを借りるしか方法はないですか？

ローン中の売却とかじゃ無いなら（自分名義なら）売却後１週間程度で入金になると思います。
正確な入金日は売却先に確認するしか無いですが、１週間〜10日程度なら購入先に代車とか借りれるかどうか聞いてみてはいかがでしょう？
代車無いならレンタカーになると思うけど、10日で５〜6万かかるのでタクシーや公共の乗り物とかも考えてみては？
売却、購入に伴い任意保険の切り替えもあると思いますが、もし何か貸してもらえるならその代車に適応させてもらえるかも聞いた方がいいですよ。

買う車の支払いタイミングを相談する。

借りたら？
手放した金額で 全額が払えると踏んでるの？
実際の購入は 金が入らないと 手続きは進めないでしょ。
まぁー そこは信頼関係の有無で違うので 長年の付き合いがあれば 手数料（諸経費）以外は 後と言う事も可能でしょ。
基本、ディーラーや一見さんには無理だと思う。
銀行のフリーローンで借りて 売った金が入り次第 払い込みするのが良い案。 取引のある銀行に訊いてみたら。

売る条件を即金にして、買う条件を納車時支払いにされてはどうでしょうか！？

タイムスカーとかしかないでしょうね。
いつも同じディーラーでしたら納車まで
代車を貸してくれたりしますけどね。

買取屋は買取保証で、納車まで少し引き渡し時期をスライドしてくれる店もあります。
また、専用のレンタカーを貸してくれたり。