私は誕生日が3月16日で自動車の免許を3月の31日までに取りたいのですが可

私は誕生日が3月16日で自動車の免許を3月の31日までに取りたいのですが可能ですか？
そして合宿か通いかどちらが良いですか？

なんでみんな「18歳の誕生日」って勝手に解釈するんでしょうか？
質問者様の書かれた情報だけで判断すれば充分に可能ですよ。誕生日が何月何日であっても関係ないです。免許の取得要件を満足していれば何歳の3月31日までであろうが可能ですから。
もし、18歳の3月31日までに取得したいのであっても充分可能です。
合宿や通いじゃなくてもたったの8日で免許を取得する方法があります。
初日；免許センターで仮免筆記試験合格、技能試験合格、有資格者を同乗させて２時間練習
２日目〜５日目；有資格者を同乗させて毎日２時間練習
６日目；免許センターで本免許筆記試験合格、技能試験合格、適性試験合格
７日目；指定自動車学校で取得時講習を４時間受ける
８日目；講習の修了証書を持って免許センターに行き、免許を受け取る
と最短で８日で済みます。
上記の方法がうまくいけば３万円でお釣りが来ます。しかし取得時講習には予約が必要な地域が多いので、本免合格の翌日に取得時講習を受けられるかどうかは怪しいですけどね。

自動車学校に勤めています
最短で3月16日に仮免取得。3月23日卒検。3月24日に本免です。
通いなら短期コース、出来れば合宿のほうが確実だと思います。

合宿なら仮免後の2段階は19時間で最短7日ですから、間に合う可能性は高いですね。通いでも合宿同様の詰め込みスケジュールの短期コースなら同じです。
しかし、通常の通いのコースだと、19時間の技能教習には19日以上かかってしまい、無理ではないかと思います。