期限切れの免許証を更新する場合、先に警察署に行って住所を現在住んでいる

期限切れの免許証を更新する場合、先に警察署に行って住所を現在住んでいる場所に変えないと駄目でしょうか？

【注意】以下の手続きは有効期限満了日から6ヶ月以内に完了すること。これを満たさないと大変な手間がかかります。詳細は後述。
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当該免許証は免許証としても本人確認書類としても効力を失っています。しかし、最近まで免許証を持っていて、うっかり切らせたという状況は把握されているため、再取得するに当たって救済措置を受けられます。
この救済措置は運転免許試験場でのみ手続き可能です。また、平日のみの取り扱いとなります。朝試験場に行き救済措置の手続きを開始します。救済措置を受ける手続きを終えた後は通常の更新とほぼ同様の手順で進みます。うっかり失効の場合運転経歴はリセットされてしまうため更新時講習は2時間受けることが一般的です。ただし、初心運転者期間の設定は免除されます。
救済措置の結果、流れが更新とほぼ同じになるだけで、実際には新たに取得することと何ら変わりません。（免許証番号は新たに割り振られ、グリーン帯になる）
当日は本人確認・住所確認のため以下の書類を用意してください。
・本籍地記載の住民票（住民票の住所が現住所と異なる場合は転出入手続きを役所で済ませること。）
・保険証・パスポート・個人番号カードなど「現に有効な」本人確認書類
・そのほかの必要書類および手数料はお住まいの都道府県警察のサイトで確認のこと。
・言うまでもないが、運転免許試験場には公共交通機関で行くこと。
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万が一、有効期限満了から6ヶ月以上経過してしまった場合
・6ヶ月を超え、1年以内の場合は救済処置申し出に対し、仮免許証のみ交付されます。教習所に仮免入校して免許再取得を目指すか一発試験による再取得を目指すことになります。
・1年以上経過した場合、一切の救済措置を受けられません。1からやり直しです。

「失効」したら「更新」はできません。失効再取得という手続きになりますが、免許・免許証を交付できる機関は「運転免許試験場」ですので、住所地を所管する運転免許試験場に行って下さい。
失効手続きと同時に住所変更は行えます。

「期限切れの免許証を更新する場合、先に警察署に行って住所を現在住んでいる場所に変えないと駄目でしょうか？」
いいえ。更新期限が過ぎてしまった免許は、既に失効しています。警察署に持参しても、何の手続きもできません。
更新期限が過ぎてしまった運転免許を復活させる手続きは「再取得」と言いますが、これは試験を受けて免許を取得する手続きです(失効からの期間や理由により、一部の試験が免除になるだけです)。なので、手続きは通常、運転免許試験場でしか行えません。また、その際に現住所の証明として住民票の写しを提出し、その住所で運転免許証が作られます。失効した免許証の住所を変更する訳ではありません。