アメリカだと銃の免許さえ持っていれば家などに銃を置いておいたりすることって出

アメリカだと銃の免許さえ持っていれば家などに銃を置いておいたりすることって出来るんですか？
それとホルスターなどに入れて外出時に持ち歩いたりすることって出来るんですか？

州法による。
ホルスターに入れて持ち歩けるが、オープンキャリー(外部に見える形)では禁止している州もある。
https://en.wikipedia.org/wiki/Open_carryain_the_United_States

日本でもショットガン、ライフル届け出せば家に置けます。

基本的に可能です。
ただ、アメリカは州によって法律が違うので何とも言えませんが。