免許更新についてなんですが、平成31年8月31日まで有効の場合、最短で

免許更新についてなんですが、平成31年8月31日まで有効の場合、最短で更新できる日ってどれくらいですかね？

二ヶ月前です。

まず、念のためですが平成31年は4月までです
(5月から元号が変わるため平成ではなくなり8月では新元号元年となります)
免許更新の期間は有効期限の前後2ヶ月のため貴方が8月31日生まれの場合7月31日から9月30日までとなります
これにより更新期間は新元号元年7月31日～9月30日が該当します

平成３１年６月３０日（日）〜平成３１年９月２日（月）が更新期間となります。
平成３１年６月３０日（日）なら免許証センターで更新できるので、６月３０日が定期更新できる最初の日となります。

更新期間は誕生日の前後１ヶ月となります。
７月３１日が誕生日だと思いますが、６月は３１日が無いので、末日の３０日が更新期間のスタートになります。その日は日曜日ですが、土日祝日の場合の規定が無いので、そのまま６月３０日が開始日。まあ、免許証センターなら日曜日もやっているので日曜日に更新可能。即日発行。
質問には関係ないですが、平成３１年８月３１日は土曜日なので、有効期限と更新期限が月曜日（平成３１年９月２日）まで自動的に延長されます。

なぜ「簿記」のカテゴリーで？。
期限の2カ月前から更新手続きが取れます。また、その期間中に入院や出国をするなどのやむを得ない理由があれば、もっと早くから更新手続きを取る事も出来ますが、期限が「3回目または5回目の誕生日の1カ月後」になることは変わらないので、更新期間より前に更新手続きをすると、有効期間は短くなります。