運転免許証再発行についてなんですが、 - 今日財布を落としてしまい、免許証を

運転免許証再発行についてなんですが、
今日財布を落としてしまい、免許証を無くしたんですが、明日から出張で他県に行かないと行けないんですが免許証の再発行は他県でもできるのでしょうか？

できません。
発行した公安委員会が管轄する免許センターなどで行います。
他府県で再発行する場合は
住民票の移動が必要です。

いいえ。免許証の記載住所を管轄する都道府県でしか再交付手続きはできません。ただし、同時に住所変更をする事で、新しい住所での再交付手続きはできます。
しかし、出張では出張先の現住を証明できないので、住所変更ができず、よって再交付手続きもできません。

住民票の在る都道府県（の免許センター）での再発行です。
他の都道府県に権限は有りません。

どちらの都道府県かわかりませんので、警察庁のサイトを中心に、お答えします。
http://www.npa.go.jp/policies/application/license_renewal/japan.html#p4
添付画像の下のページです。
免許証を紛失・破損した場合のところに書いてある通りです。
道路交通法第９４条２の規定だそうなので、当該の条文も抜粋しておきましょう。
道路交通法
第９４条
２ 免許を受けた者は、免許証を亡失し、滅失し、汚損し、若しくは破損し、又は前条の規定による記録をき損したときは、その者の住所地（仮免許に係る免許証にあつては、その者の住所地又はその者が現に自動車の運転に関する教習を受けている第九十八条第二項の規定による届出をした自動車教習所の所在地）を管轄する公安委員会に免許証の再交付を申請することができる。
警察庁のサイトの記述は、条文を簡略化しただけですが、この中に重要な記述があります。
《住所地を管轄する公安委員会に免許証の再交付を申請することができる。》
「住所地を管轄する」という事なので、住所地の都道府県警察の免許センター等または警察署で申請ですね。(警察署で申請の場合は、再交付まで日数を要します)