運転免許証は例えば埼玉県で取って大学の一人暮らしで大阪に行った場合、免許

運転免許証は例えば埼玉県で取って大学の一人暮らしで大阪に行った場合、免許証に表示される自分の住所と発行の都道府県の名前は新しい免許証を貰うとともに変わりますか？
それともそのまま同じ免許証をつかうのですか？

免許証の再発行時に発行した都道府県の名が入ります。
貴方の場合は最初の更新時に変わります。住所変更だけなら裏面に記載されますから発行都道府県は変わりません。

「新しい免許証を貰う」と言うのは、紛失や棄損で再交付を受ける場合のことですか？。であれば、それ以前に行った住所変更手続きで、免許証の裏面に記載されていた「大阪の住所」が、表面に記載されることになります。
しかし、免許証は更新または併記するまで同じものを使います。住所変更や限定解除などの場合、その変更内容が裏面に記載されるだけですよ。

住所変更のみの場合は新住所が裏面に記載されます。
表面の住所は、変更後の最初の更新か他の免許を取得した時(新しい免許証が交付された時)に新住所に変わります。

住民票を移したら記載内容変更の義務が生じます