免許証の書き換え場所について - こんばんは。今日、教習所で普

免許証の書き換え場所について
こんばんは。
今日、教習所で普通二輪を卒業しました。
すでに普通車MTを所有しております。
今度、卒業証明書を持って免許センターに行くのですが、下記のような複雑な事情によりどこの免許センターに行けば良いのかがわかりません。
・2年以上前に埼玉県で普通車MT取得
・1年ほど前に埼玉県から東京都へ一人暮らしのため引越し(実家は埼玉のまま)
・学生なので、住民票を移さずに東京都に在住
・身分証明の際に面倒なので警察署で免許証の住所を変更(裏面に新住所記載)
・免許の有効期限が来たので、江東試験場(東京都)で更新(東京都の住所が裏面から表面へ)
この状態では、埼玉県と東京都どちらの試験場に行くべきなのでしょうか？

運転免許に「書き換え」と言う手続きはありません。普通自動車免許持ちで、普通二輪の指定教習所を卒業したのであれば、次は試験場での併記手続きです。「書き換え」と言う言葉に明確な定義が無いため、それが更新、併記、記載事項変更のいずれの意味になるかは、使う人間の思い込みで左右されてしまいます。使わない方が無難ですよ。
住民票が埼玉県のままであっても、免許証の住所が埼玉県から東京都に変更済みであれば、併記の手続きができるのは東京都内の試験場です。
埼玉県の試験場で併記手続きをすることは、埼玉県の住民票の写しを取得して、同時に埼玉県への住所変更をすれば可能です。しかし、別に埼玉県の実家に戻る訳でもないなら、身分証明として使いづらくなるだけでメリットはないでしょう。
なお、質問者さんは「学生なので住民票を移していない」と書いていますが、学生であることだけでは、住民票を移さない理由にはなりません。住民票は現住所に置く法的義務があります。