今年の12月10日が誕生日で、その日が運転免許の有効期限なのですが

今年の12月10日が誕生日で、その日が運転免許の有効期限なのですが、数日前に自動車学校で二種免許の教習を終えました。
あとは免許センターで学科試験を受けて合格すれば免許の追加となるのですが、免許証の更新が近づいているので、今の免許の更新と二種免許の追加を同日にできるのかどうかを知りたいです。

更新手続きはする必要はありません。
二種免許を追加する手続きを行うことでその日を起算日として新たな有効期間が開始します。
なお、追加手続きした直後の誕生日を第一回とカウントするので、お急ぎでなければ誕生日の翌日に手続きを推奨します。

「今年の12月10日が誕生日で、その日が運転免許の有効期限」
そんなはずはないでしょ？。免許証の有効期限は「誕生日の1か月後」のはずです。
手持ちの免許証に種類を追加する手続きは「併記」と言います。質問者さんは現在、いずれかの二種免許の受験(併記)待ちで、かつ、11月10日～来年1月10日に更新が予定されているんですよね？。でも、「更新と併記を同時にする」ことはできません。併記だけをするか、更新をしてから併記をするか、の二択です。
免許証の有効期限までに併記をすれば、それで新たに交付される免許証の有効期限が「3回目または5回目の誕生日の1か月後」に変わります。つまり、併記だけをすればよく、更新はしなくても良くなります(更新はできなくなります)。ただし、有効期限までに試験に合格できず併記が出来ない場合は、先に更新手続きをして期限を延ばしておかないと、併記ができなくなってしまいます。