運転免許の教習所を卒業した際に昔の住所のまま教習所を卒業し、卒業してから

運転免許の教習所を卒業した際に昔の住所のまま教習所を卒業し、卒業してから違う住所に引っ越しましたが、この場合免許センターで免許を受け取る時は、
新しい住所の住民票のみを持って免許センターに行けば免許を更新出来ますか。
それとも、教習所を卒業した卒業証書は前の住所なので卒業した教習所で新しい住所を記載した卒業証書をもらってから免許センターに行かないと免許は貰えませんか。
ちなみに車の運転免許は持っており、新たに中型二輪の教習所を卒業したのでその免許証がほしいです。

まず勘違いがあります。手持ちの運転免許証に種類を追加する手続きは「併記」といい、試験の手続きです。運転免許の手続きで「更新」とは、期限満了に伴う延長の手続きのみを指します。併記は更新ではありません。
併記に必要な書類は、指定教習所の卒業生なら、運転免許証、卒業証明書、写真、手続き費用、それと地域により印鑑です。住民票の写しは住所が変わる場合に提出します。なので「住民票の写しのみ持って」では足りませんね。
卒業後、受験までに転居すると言うことはよくあることです。通常、提出する住民票の写しには「転入前住所」が記載されるので、それで住所の連続性も確認できます。また、仮にそれが無くても、指定教習所の卒業証明書には、申請者の氏名と生年月日が明記され顔写真が貼られているので、それと免許証(身分証明書)との整合が取れれば、住所が違っていることは問題視されません。
逆に「住所が変わった新しい卒業証明書」を卒業した教習所に貰おうと思っても応じて貰えません。卒業証明書は原則として再発行しない書類ですし、あくまで卒業時の内容しか証明しません。
なお、細かいことですが…。
「住民票」は役場の中にある住民台帳を指す言葉で、外部には持ち出せません。持ち出したり提出したりできるのは「住民票の写し」です。また「中型二輪」なる免許は存在しません。普通自動二輪免許ですよ。

卒業証明書と、新住民表と免許証とお金を持って新住所の運転免許センターへ行き、
併記手続きと住所変更をいっしょにすればOK