a教習所でAT免許を取り、 - その後すぐb教習所で限定解除を受けることは可

a教習所でAT免許を取り、
その後すぐb教習所で限定解除を受けることは可能でしょうか？
また、その際にa教習所に通知が行くことはありますか？

元指導員です。
卒業生が実際に運転免許を取得したかどうか、また行政処分や運転免許種の変更等があったかどうかと言うのは、全て個人情報ですので教習所側に通知などは一切ありません。
限定解除審査には運転免許の交付を受けてさえいれば、それ以外に何も制限はありません。
ATで卒業後にすぐ限定解除しに来る子はいますよ。卒業後に何らか事情が変わったりするのはあることですから、別に教習所側は何も思いません。と言うかお金を払ってくれるお客様ですから、悪く思うわけがありません。

教習所では運転免許は取れません。教習所は民間企業なので、運転免許を発行する権限はありませんからね。卒業することで、単に本免許技能試験の免除が得られるだけです。運転免許は、運転免許試験場で試験を受けて合格しないと、取得はできません。
つまり、a教習所を卒業しても、その後に運転免許試験場で免許を取得しなければ、免許は無いのと同じで、b教習所の限定解除コースを申し込むことができません。
免許を取得した後であれば、そしてb教習所が「すぐ」に限定解除コースを受け入れてくれる状態であれば、「すぐ」に限定解除コースを取ることはできます。
運転免許試験場の試験に合格したことは、a教習所には判ります。卒業証明書の有効性の照会が、試験場から行われますからね。しかし、b教習所がa教習所に何か問い合わせや通知をすることはありません。

可能です。
通知も行きません。
ただ、違う教習所に入所すると入所金が当然かかりますが、卒業した教習所に再び通うと入所金が安い(中には無料になる教習所も？)事もありますよ。
勿論、都市部に住む方が地方の教習所で合宿等により早期にAT限定で取得し、AT限定解除は就職してから地元でゆっくり…なんて方も多数居ます
入所した当時はAT限定で良いと考えてたら何らかの事情でマニュアル車を運転する必要が発生した(或いはマニュアル車に興味を持ちだした)等の理由で卒業直後に限定解除する方も多いです。

a教習所で卒検受ける前まで終わらせて
MT変更すれば、４時間乗って
見極め貰えば、そのまま卒検受けて
卒業出来ます。
一回でも卒業しちゃうと
同じ教習所でも、違う教習所でも
再入所扱いになり
入学金が、必要になりますよ。

限定解除は指定校なら何処でも大丈夫ですよ
通知などはとくにいかないと思いますけど。

できますよ。
通知は、行かないと思います。
ただ、料金的に、最初のところでされると、特典とか用意してる場合があるかもしれないので、問い合わせるとよいですよ。