現在八王子市に在住しており、免許の住所を警察署で変更したのですが、免許

現在八王子市に在住しており、免許の住所を警察署で変更したのですが、
免許更新ハガキが実家の方に届いてしまいました。
そのため更新会場がどこかわからず、検索してみても八王子警察署では出来ないというのはわかったのですが、
結局更新するには立川警察署？高尾？でも優良運転手じゃないと駄目なのか…？
と分からずじまいで迷っています。

免許の更新はどこに行けば良いのでしょうか？

指定警察署での更新手続きは「優良運転者」のみです。
優良運転者講習しかしていないからです。
指定警察署=簡単な手続きのみで出来る更新=「優良運転者」のみです。
※更新だけであれば高齢者も可能だが、高齢者教習は行っていない。
東京でそれ以外での更新は
優良運転者講習、一般運転者講習の方及び高齢者講習の場合
「免許更新センター」
上以外の場合、また全て
「運転免許試験場」
となります。
場所はこちらです。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/smph/menkyo/koshin/koshin/koshin01.html

更新ハガキに指定場所が書かれていると思いますが…。
ゴールド（優良）免許の方は高尾警察署などの指定警察署で更新できます。
それ以外の方は免許更新センター（新宿、神田）もしくは運転免許試験場です。（ゴールドの方もOK）
八王子に近いのは、府中免許試験場ですが、都内ならどこでもOKです。（但し、新型コロナの影響で休業している場所もありますので、ご注意下さい。）

更新で優良運転者になる場合でなければ警察署での更新手続きは出来ません。
優良運転者にならないなら「府中・鮫洲・江東」の各運転免許試験場での更新手続きになります。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/smph/menkyo/koshin/koshin/koshin01.html
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/koshin/koshin02.html

更新の通知はがきは、誕生日の40日前の時点の違反歴を元に作られます。その時点ではがき作成の委託会社に新住所が通知されていなければ、住所変更手続きが取られていても旧住所宛てに発送されてしまうことになります。
実家が東京都でないのであれば、そのハガキの案内はその道府県の窓口についてなので、都内のどこで更新が出来るかわかりませんね。ただ、はがきに記載されている更新時講習の種別はどこに行っても変わりませんので、それを元に警視庁のホームページの更新手続きの案内を見れば、どの種別がどこで手続きできるかわかりますよ。
警視庁 運天免許更新手続きの場所
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/smph/menkyo/koshin/koshin/koshin01.html
東京都では、警察署で更新ができるのは優良運転者講習の人だけです。でも、免許人口の6割は優良運転者講習の対象なので、負荷分散としては適切な条件なのでしょうね。

葉書に記載されている連絡先に電話してみれば、現在の状況でどこで更新するのがいいのか、教えてくれるとおもいます。