教習所で、仮免の合格者が出るたびに、その日に仮免許証を発行してもら

教習所で、仮免の合格者が出るたびに、その日に仮免許証を発行してもらいに、誰かが免許センターに行くのですか？

都道府県にもよりますが、運転免許試験場の他、教習所の住所を受け持つ警察署でも発行手続きを行う(代行する)事もあります。
(仮免許の発行者が警視総監又は道府県警察本部長となっているので、都道府県公安委員会だけでなく警察機関でも発行可能なのです。)
教習所が管轄警察署から数キロ程度の場所に建っている理由もそれでしょう。
要は仮免許発行の細かい部分については公安委員会や都道府県警察との決めようなのです。

「教習所で、仮免の合格者が出るたびに、その日に仮免許証を発行してもらいに、誰かが免許センターに行くのですか？」
別に、合格者が一人出る度に手続きをしにいく訳ではなく、全員分をまとめて処理しますよ。
その日が平日で、運転免許試験場の終業時間までに事務員さんがたどり着けるなら、事務員さんはその日のうちに仮免許証の発行を受けようと頑張ります。しかし、どうしても終業時間に間に合わないとか、週末の試験を実施したような場合は、その日に行くのは無駄なので、翌営業日になります。

教習所には、元警察官の方が常駐されています。その方が出向かれます…。

免許の発行や交付は免許センターがしますので
仮免学科試験終了後は職員が答案用紙を持って
管轄の免許センターに行き合格者の仮免発行
申請をします基本的には
仮免学科試験も自動車学校で実施出来るのは
公安委員会の指定校だけです
実施当日は朝一で管轄のセンターに電話する
などして何番の問題用紙を使うのか聞いて
指定された問題を出す必要もあります
また指定を受けて無い届けで校は免許センター
にて技能も学科も出向いて受ける事になります。

なので検定などはある程度纏まって貰わないと効率が悪いんですよ。

知らないでしょうけど、学科試験の採点も試験場で警察官の元、採点機にかけてもらわないとできないんで、要は2度行くんです。
誰が行くかはその教習所によってちがいますが流れ的には
1、学科試験が終わる
2、その解答用紙を回収し、試験場に持っていって採点してもらい、結果がわかる
3、仮免申請書の作成
4、その合格証明書を添付した申請書を提出
5、2時間ぐらい待たされる
6、仮免許発行

1～6の流れを通常の教習所は1だけやって、一日保管して2～6を次の日に行なう
短期とか合宿教習所などは1～3をやって、次の日の午前中に4～6
学科試験から次の日の午前中には仮免許が手元に来るようになる。
全部が全部そうではないけど東京都の教習所はこういった流れです。
だからコロナで試験場が休業になると一大事なんです。