自動車免許の住所変更はいつまでに行かないと罰則がある、ということは

自動車免許の住所変更はいつまでに行かないと罰則がある、ということはありますか？
引っ越してからすぐ働き始め、土日しか休みがないので住所変更に行くことが出来ず、早くても1、2ヶ月後になってしまうかもしれません。両親は遠くに住んでいるので代わりに行ってもらうこともできず…
仕事の休みを取ってでも行った方がいいんですかね？
また、こういう場合他の皆さんはどうしていますか？

一応法律上はありますがこれが適用されたということはまず聞きませんね。
（免許証の記載事項の変更届出等）
道交法第九十四条 免許を受けた者は、第九十三条第一項各号に掲げる事項に変更を生じたときは、速やかに住所地を管轄する公安委員会（公安委員会の管轄区域を異にして住所を変更したときは、変更した後の住所地を管轄する公安委員会）に届け出て、免許証に変更に係る事項の記載（前条の規定による記録が行われる場合にあつては、同条の規定による記録）を受けなければならない。
第百二十一条 次の各号のいずれかに該当する者は、二万円以下の罰金又は科料に処する。
→ 第九十四条（免許証の記載事項の変更届出等）第一項

変更があった際は「速やかに」とされていてどれくらいかの期間かは明記がないので「速やか」とは概ね2週間前後とするのが一般的だろうと考えられています。
但し冒頭でも述べましたが、この違反が「違反」として摘発、検挙されることは事実上ないです。
「土日しか休みがないので」
⇒ 土日が休めるなんてなんと羨ましい！
それはともかく日曜日は警察は休みだが運転免許試験場や免許センター(一部を除く)がやっているからこちらで記載事項変更の手続きをするとよい。
土曜日は警察署も運転免許試験場も一切お休み。
何県に住んでるの？

一応、罰則付きの違反です。ただし、期間は「速やかに」とあるだけで、具体的な日数等は定められていません。実際には概ね2週間程度が許容範囲でしょう。
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道交法 第94条 (免許証の記載事項の変更届出等)
免許を受けた者は、第九十三条第一項各号に掲げる事項に変更を生じたときは、速やかに住所地を管轄する公安委員会（公安委員会の管轄区域を異にして住所を変更したときは、変更した後の住所地を管轄する公安委員会）に届け出て、免許証に変更に係る事項の記載（前条の規定による記録が行われる場合にあつては、同条の規定による記録）を受けなければならない。
２～(略)
（罰則 二万円以下の罰金又は科料)
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もっとも、この条項が適用されるのは、暴力団やカルト宗教の構成員など、公安警察の監視対象になっているような連中だけでしょう。一般人であれば特に咎められることは無いと思いますよ。
なお、記載事項変更の手続きについては、本人でなくても代理人で可能です。私の住む福岡県の警察のホームページには、下記の通り案内されています。代理人は家族でなくても、例えば行政書士などに依頼することができるでしょう。
手続き自体は30分もあれば終わるので、私なら短時間の休みを取ってでも自分で行きますけどね。例え親族でも、他人に免許証を預けるなんてやりたくありませんから。
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病気、負傷、その他の理由により本人が手続きできない場合は、家族等の代理人が申請を行うことができます。
その際は、上記「必要書類」のほか、委任状（委任者本人が自筆し押印したもの（コピー不可））と代理人の身分証明書「運転免許証、マイナンバーカード、健康保険証、パスポート等」が必要です。
※ 委任状については、特に様式の定めはありません。
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直接的な罰則はなかったはずであるが
変更してない免許証を本人確認に用いた場合
有印私文書偽造及び同行使罪だったかな？
ついでに詐欺でもあります