免許の併記、更新について - 20歳、普通免許をもっています。大型2

免許の併記、更新について
20歳、普通免許をもっています。大型2輪を取得したので免許併記に警察署にいきました。
その際「来月の誕生日の5/13か14、その日が無理ならなるべく早く来てくれるなら免許更新も1年追加？できます。警察署の場合免許お渡しまで二週間程度かかります。」と言われました。
警察署に行ったのが4月あたりで、免許更新が今年の6月20です。
全然わからないので警察署の方の通り明日の5/13に行こうと思いましたが電話したところ
「コロナの影響で免許併記はできるが更新はできないので6月以降きていただければ一緒にできます。」
そう言われました。更新日が6/20で6月に入ってから免許併記(更新も兼ねて)をした場合間に合うのでしょうか？
宜しくお願い致します。

失礼ですが、
・説明を誤解されている
もしくは
・いい加減な嘘をつかれた
のいずれかですね。
状況を整理しますが、
・大型２輪免許の併記をしたい
・免許更新時期でもあり更新期限もまぢか
という状態です。
このような状態の場合は、
・大型２輪免許の併記
のみを行うだけでよく、
免許の更新手続きは不要になります。
併記手続きの際には以下になります。
・過去５年間の違反歴におうじて
・金５年、青５年、青３年免許のいずれかになる
・つまり新有効期限の新免許証が交付される
なので併記でも更新と同じことが起きます。
ですから、併記と更新のタイミングが近い場合は、
併記のみ行えば、更新手続きは不要になるんです。
併記の場合は、
・受付
・適正検査
・写真撮影
のみで講習もないです。
なので拘束時間も短いです。
なので
・現在の免許証の有効期限までに併記を行う
だけでOKです。
ただし注意点が1点あります。
それは、
・誕生日以降の１カ月間で併記を行う
です。
御存知でしょうが、免許証の有効期間は、
更新年の誕生日の１か月後までです。
この期限を超えてしまうと、免許証は無効に
なってしまい、特別新規申請という手続きを
して免許証を復活させてからでないと、
大型２輪併記は行えません。
なので免許証有効期間内の併記を行う必要が
あるのですが、それはお誕生日以降としてください。
その理由は以下です。
免許証の有効期間は３年・５年となりますが、
正確には、
・３回目、もしくは５回目の誕生日の1か月後まで
となるのです。
通常の免許更新の場合、
誕生日１カ月前からの更新が可能であり、
直後の誕生日は１回目とはカウントされません。
ですが免許併記手続きの場合は、
たとえ誕生日前日の手続きであっても、
翌日誕生日が１回目とカウントされてしまいます。
なので誕生日直前に併記を行うと、
新免許証の実質的な有効期間は３年・５年ではなく、
２年・４年になります。
なので、誕生日以降に併記をおこなった方が、
長い有効期間の新免許証になるということです。
なので、
・免許の併記はできる
という回答を得ているので、
お誕生日以降１カ月以内に大型２輪の
併記だけをされてください。
なお、併記の場合以下の条件で
免許証の色、有効期間が決まります。
ご参考までに。
①ゴールド５年免許
・併記手続き日以前
・５年以上
・無事故無違反
②ブルー５年免許
・併記手続き日以前
・５年間で
・3点以下の違反1回のみ
③ブルー３年免許
・免許歴５年未満
または
・併記手続き日以前
・５年間で
・4点以上の違反あり、もしくは
2回以上の違反あり

少し整理する。まず冒頭、大型二輪の免許を取得したのではなく、大型二輪の自動車学校を卒業したという事だね。
仮にあなたの誕生日を5月14日とする。更新ができる期間は4月15日から6月14日である。更新後の有効期間はあなたの場合おそらく３年。
更新ができる期間に併記を行えば、更新をする必要は無く有効期限は3年後の誕生日（プラス1か月）だ。更新が出来る期間の前に併記を行えば（もう過ぎているが）、この場合も更新をする必要は無く、有効期限は２年後の誕生日（プラス1カ月）となる。すなわち、併記をした後の有効期限は併記後３回目の誕生日という事。また、当然ながら更新が出来る期間を過ぎれば、無免許となり併記もできない。
これでお判りでしょうか？