東京都在住です。誕生日が1月10日で免許更新期間をうっかり忘れてたの

東京都在住です。
誕生日が1月10日で免許更新期間をうっかり忘れてたのですが、コロナで更新になかなか行けませんでした。
6/1から試験所も段階的に業務再開という事で、やむを得ない理由がな
く更新しようと思ってるのですが、受付業務に「有効期間が1か月未満の人（今年の誕生日を迎えられた人）」とあり自分はこれに当てはまってるのですか？
期間1ヶ月は過ぎてるけど誕生日は今年なので更新出来るのですか？
警視庁ホームページみてもよくわからず…
どなたか教えて下さい。

質問者さんはもう免許更新はできません。
免許証の有効期限は、
誰もが忘れることが無いように、
・更新年の誕生日の１か月後まで
となっており、免許証表面に一番大きく記載されています。
そして運転免許の更新期間は、
・更新年の誕生日の前後１カ月間の計２カ月間
です。
有効期限を過ぎれば運転はもうできませんし、
通常の免許更新もできません。
ですが今年はコロナの影響により、
免許証有効期限の延長申請が可能となっており、
郵送や窓口での受付をしていました。
質問者さんはその手続きもされていないでしょう。
なので、今年の２月１０日時点で、
現在の運転免許証は効力を失い無免許状態です。
おそらく普段から運転されていないでしょうが、
免許証復活まで決して運転はされないでください。
検挙されれば「無免許運転」という懲役ある犯罪になりますし、
万が一無免許運転で事故を起こせば、契約していても
自動車保険が不適用になったり、
「無免許運転致死傷罪」という重罪が適用されることも
ありえます。最悪の場合は人生終了です。
以下は免許証復活の方法です。
上記の通りもう質問者さんは完全無免許状態なので、
免許更新は不可能です。
よって、
・特別新規申請
という手続きを行います。
必要書類は地域で微妙にことなるかもですが、
多分、
・本籍記載された住民票の写し
・期限がきれた免許証
となります。
詳細は、
「お住まいの都道府県名＋特別新規申請」
と検索されてください。
そして免許センター他指定施設で申請をすると、
・特別に試験無しで
・免許証を新規発行してくれる
ということになります。
ですがこの免許証は更新されたものではなく、
新規発行扱いなので、
・免許歴はイチからやりなおし
・無事故無違反歴もイチからやりなおし
・必ず青３年免許になる
・講習も２時間
となります。
なおこの特別新規申請が可能なのは、
今年の８月１０日までです。
つまり、免許証の有効期限切れから
６カ月以内までです。
それを超過してしまうと、
もう免許証の復活は不可能となり、
仮免許証からまた教習をやり直して、
免許証を再取得することになります。

https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/smph/menkyo/oshirase/menkyo_0601.html
失効手続き、再交付手続きは、試験場でやってるみたいですよ。

いいえ。運転免許の期限が切れてしまった人は、もう「更新」手続きはできません。できるのは「失効再取得」の手続きです。更新の案内を見ても無意味ですよ。

https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/shikko/shikko01.html
上記はやむを得ない理由がなく、失効後6か月以内の手続を説明した警視庁のサイトです。
誕生日が1月10日ということは、免許証の有効期限は2月10日であると思われます。
新型コロナウイルスによる免許証の有効期間の延長手続きを行っていれば、質問に記載されたとおり期間1か月の経過ということになるのでしょうけど、延長手続きを行っていなければ4か月超経過ということになります。
いずれにしても免許証の更新手続きはできません。失効再取得の手続きになります。
上記サイトに記載の必要書類を持参し、府中、鮫洲、江東のいずれかの運転免許試験場に行きましょう。