病気で免許更新延長します。更新前に延長届を出したらそれまで車の運転はで

病気で免許更新延長します。
更新前に延長届を出したらそれまで
車の運転はできるのでしょうか？
例えば7/1が更新日です。
病気で医師の診断書には10月までと
あります。
7/1までに本人が警察署に行き延長届を
出すと三か月先まで運転はできるのでしょうか？
それとも7/1以降は運転はできませんか？

質問者さんが言われているのが、COVID-19対策として臨時に行われている期限の延長手続きの事を言っているなら、理由を問わず3カ月の延長ができます。手続きを取ると、免許証の裏面に「更新手続き中」の文言と、3カ月後の日まで免許が有効で運転可能である旨の記載がなされます(郵送で手続きした場合は、その旨のシールが送られてくるので、それを免許証の裏面に貼ります)。
なお、俗に延長手続きと言われていますが、具体的には「更新手続きの開始」と言う手続きです。期限内に更新手続きを開始したことにするから、期限は切れないよ、と言う便法ですね。一度の手続きで3カ月の先延ばしができ、繰り返す事も可能です。ただし、あくまで「更新手続きを始めたよ」の手続きなので、いずれ更新手続きを完了させる必要があります。
質問者さんが言っているのがそのことでないなら、病気などを理由にしても、免許の有効期限を「延長」することはできません。更新手続きは期限までに受ける必要があり、運転できないなどの事情があれば更新が拒否されるか、限定付きの免許に変更させられます。