来年の10月が誕生日月で免許の更新なのですが、今月、新たに教習所を卒業し、免許

来年の10月が誕生日月で免許の更新なのですが、今月、新たに教習所を卒業し、免許の書き換えにいかなければなりません。
急いではいないので、もしお得な更新月などがあれば教えていただきた
いです。
また、今回更新した場合は期限は新たに付与されて、来年更新しなくてもよくなるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

新たに別種の免許を追加（併記）すると、その時点から3回または5回目の誕生日の1月後まで期限が伸びます、来年の更新はなくなります
どちらになるかは免許保有歴と違反回数によります
大した得といえるかはわかりませんが、今年の誕生日後に併記すれば期限は2023年または2025年、誕生日前なら2022年または2024年になりますので、誕生日後に併記するとほぼ一年長くなります

運転免許に「書き換え」と言う手続きはありません。手持ちの運転免許証に種類を追加する手続きは併記と言います。運転免許証の帯色と有効期限は、更新だけでなく併記でも見直され、運転免許証が作り直されるので、更新と併記の時期が接近している場合、更新手続きは取らずに併記手続きだけを取るのが一般的です。併記により有効期限が先に変わるので、更新はしなくてよくなります(出来なくなります)。
ただし、新たに交付される免許証の有効期限は「3回目または5回目の誕生日の1か月後」なのですが、この基準日が更新と併記では異なります。更新では元の免許の有効期限から数えるので、3回目または5回目の誕生日の1か月後、と言うのは3年後又は5年後です。しかし、併記の場合は併記手続きをした日から数えるので、更新期間が接近している状態だと、その更新期間中の誕生日が1回目として数えられる可能性があり、その場合は有効期限が実質的に1年短くなります。よって、特に併記を急ぐ必要が無いなら、更新期間中の誕生日以降に併記をするといいでしょう。

誕生日を過ぎてから併記すると、3年か5年後に更新期日が伸びます。
限定解除の場合は使えません。