引っ越し先の運転免許証に記載の住所更新って、自動車学校でできますか？

引っ越し先の運転免許証に記載の住所更新って、自動車学校でできますか？また、警察署に行く場合は、受付に行って言えばよいのでしょうか？

「引っ越し先の運転免許証に記載の住所更新って、自動車学校でできますか？」
できません。教習所は単なる民間企業に過ぎません。運転免許証の発行や訂正の権限はありません。
「警察署に行く場合は、受付に行って言えばよいのでしょうか？」
はい。たいていの警察署は、正門から入ったところに案内看板があるので、それに従って担当部署の窓口に行きましょう。新住所の証明書類を持参する必要があります。費用はかかりません。事務職員は平日の昼間にしかいませんので、夕方以降や週末に行っても無駄です。

免許更新はいつ？
その時でも・・・と言ってはいけないのですが。
警察へ現住所の確認出来るものを持っていけば、免許の裏に手書きしてくれますよ。そこに判子もおしてくれます。意外とアナログでお粗末な方法ですけどね。
転出、転入の手続きを役所で済ましてからの事です。

自動車学校では出来ませんよ。
警察署に行って受付で問い合わせれば担当部署を案内してくれますよ。