福岡の免許更新について質問です。4月に新居へ引越したのですが、住

福岡の免許更新について質問です。
4月に新居へ引越したのですが、住所変更した日と旧住所へ免許更新のハガキが届いた日が同じになってしまいました。この場合は新住所の付近の免許センターで
更新することは可能でしょうか。
また、3ヶ月更新延長の手続きをしたのですが、今も延長の効果は続いているのでしょうか。時間が合わずに延長前の期限が迫っていて不安です。

住所変更されたとのことですが、福岡県内での引っ越しですか？
運転免許の更新は県内の免許センターならどこでもできますし、更新ハガキがなくても手続きできます。
あと免許は都道府県警毎の管理なので延長手続きされてるなら心配はないです。
もし、福岡県外からの引っ越しだと。。
免許の更新は、現在お住まいの(住民登録されている)住所の都道府県の免許センターで行うことになり、免許証の住所変更は住民票を持っていくことで同時の変更できます。
免許更新の3ヶ月延長措置ですが、福岡県では9月末日までの分について認めていますが、これを受けるためには免許の住所変更を先にしたうた上で延長申請を行わないといけないです。
住所変更だけなら、運転免許試験場以外にゴールド免許センター(閉鎖中)や警察署、一部の交番(どちらも平日のみ)でできます。
https://www.police.pref.fukuoka.jp/kotsu/unshi/012_2_2.html

「4月に新居へ引越したのですが、住所変更した日と旧住所へ免許更新のハガキが届いた日が同じになってしまいました。この場合は新住所の付近の免許センターで更新することは可能でしょうか」
ハガキがどこに届いたかに関係なく、運転免許証に記載の「最新の」住所の都道府県でしか更新手続きはできません。転居後に警察署等で住所変更手続きをしていれば、裏面に最新の住所が記載されているはずで、それが福岡県内であれば、福岡で更新できます。
ただし、新住所の証明書類を持参すれば、更新と住所変更の手続きを同時にすることは可能ですので、実質的には現住所であれば更新はできる、と言う事になります。
福岡県の更新窓口は、遠隔地の警察署で手続きをする場合を除き、住所に寄る管轄の違いで窓口を分けてはいませんので、最寄りの窓口へ行きましょう。ただし、県内に2か所ある「免許更新センター」は優良運転者講習の対象者だけで、それ以外の講習種別の人は県内4か所の試験場に行く必要があります。
「3ヶ月更新延長の手続きをしたのですが、今も延長の効果は続いているのでしょうか」
これは微妙です。と言うのは、俗に期限の延長手続きと言いますが、その内容は「更新手続きの開始」と言う手続きで、つまり「もう更新手続きを開始したから、期限を切らさないでね」と言う便法です。質問者さんがこの手続きを、福岡に転居する前の都道府県でしたのであれば、その都道府県で更新手続きを完了しないといけない、と言う制限がかかっているかも知れません。
まあ、おそらく大丈夫だとは思いますが、福岡県内の窓口に出向く際に「この状態でここで更新ができるか」を確認したほうがいいでしょう。転居前も福岡県内であったなら問題はありません。

市町村役場で転入届けした日と更新葉書が来た日が同じと言うことですか。
免許証と新しい住民票持って住民票の都道府県の免許センターや更新手続き出来る警察へ行けば更新手続きと住所変更出来ます。