運転免許証の再発行と、更新について。今年の10月から12月までに免

運転免許証の再発行と、更新について。今年の10月から12月までに免許証の更新をしなければなりませんが、現在免許証をなくしていることに気づきました。普段から運転は全くしないので困ったことはないですが、紛失し
た際の再発行のタイミングがよく分かりません。このまま再発行せずに更新はできますでしょうか。

運転免許に再発行と言う手続きはありません。有効な免許証の交付を受けなおす手続きは「再交付」と言います。
本来は、再交付手続きをしてから更新手続きを取るものですが、更新の際に同時に申し出ることで、途中を飛ばして更新後の新免許での交付を受ける事は可能です。紛失の場合、紛失が判明した時点で警察署などに届け出ていなければ、その場で顛末書を記載して提出します。
ただし、更新と再交付の両方が取り扱える窓口と曜日・時間に手続きをする必要があります。日曜に更新可能な窓口は、多くの場合更新専用で再交付手続きが取れないので、平日に時間を作る必要があるでしょう。また、警察署で更新ができる都道府県でも再交付は試験場に限る運用が取られていたりします。具体的な事は、各都道府県の警察のホームページで確認しましょう。わからない場合は、運転免許試験場に出向くのが無難です。
なお、紛失したのであれば、再交付は後回しでもいいので、最寄りの警察署に届けを出しましょう。そうしておかないと、紛失した免許証を第三者に悪用された場合に「自分がやった行為ではない」と対抗する事が困難になります。

全く不便が無いなら、紛失再発行と通常更新を同時に処理するのが金銭的にお得です。
通常はサクサク再発行しますが、その場合再発行された免許証は紛失免許証と同じ有効期限の物になり、質問者さんの場合今年の１０~１２月の更新時にまた新しい免許証にしなければなりません。
再発行時に１枚、更新時に１枚の計２枚分、免許証その物の発行手数料を取られる事になる。
仮に１０月の更新期間まで待って更新と再発行を同時処理する場合、手にした免許証は更新区分によりますが３~５年の有効期限がある物になりますから、免許証の発行費用が上記より１回分節約出来る。
手続きの方法ですが、お住まいの都道府県警HPの更新の項目で「免許を紛失された方」などを参照するのが良いでしょう。
東京都の場合は「運転免許証を遺失、盗難、汚損、破損した方の更新手続」と、専用の項目が設定されていた。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/smph/menkyo/koshin/koshin/saikofu02.html
お住まいの都道府県でも手続きの流れ自体は大きく変わる訳でもないですが、一応問い合わせなり下調べなりはしておいた方がいいです。

ちょっと調べてみましたが、再交付と更新は同時にできるようです。
例として、こちらは広島県警察のページです。
お住まいの県警察のＨＰを見てみたら同じような記事があるかもしれません。
https://www.pref.hiroshima.lg.jp/site/police1/060-saikoshin.html