本日免許に合格し、免許証を手に入れました。 - 埼玉県の鴻巣という

本日免許に合格し、免許証を手に入れました。
埼玉県の鴻巣というところでとったのですが、もし自分が次の更新までに東京に引っ越していたとしても、更新の時は鴻巣に来なければならないのでしょうか？

免許更新は，その時に住んでいる場所にある警察や運転免許試験場で行います。
大学生なんかが就職した時にはよく，住民票の住所変更だけして，免許証の住所変更をわすれてしまいますが，その際は，現住所を確認できるものがあれば，免許更新と同時に住所更新もできます。
「現住所をかくにんできるもの」というのは住民票のコピーだけでなく，その住所に届いた郵便物をじさんするのであっても構いません。

その通りです。
運転免許証を見れば分かる様に、発行したのは埼玉県の公安委員会です。
東京の公安委員会には質問者の情報は無いのですから。
東京へ転居したら住民登録も東京に異動して、住民票を取得して東京の免許センターか警察署で住所変更をしておけば更新は可能です。
住所変更と同時の免許更新も可能です。

引っ越したら、引っ越した先の都道府県の免許センターか警察署で住所変更して下さい。
住所変更後の更新は、新たな地域で手続きを行って下さい。