免許証や保険証の紛失について。 - もし誰かが拾って警察署へ届けら

免許証や保険証の紛失について。
もし誰かが拾って警察署へ届けられた場合、落とした本人が気づいておらず、紛失届が出されていない場合、紛失届が出るまで警察署で預かられる事になるのでしょうか？

連絡先が、巡回連絡等で把握されている場合、連絡が来ます。

ええ。紛失届が出るまでと言うか、出ても預かられるだけです。
健康保険証の場合、その落とし主の情報を警察は押さえていません。落とし主に連絡をするには、健康保険組合に連絡して、そちらから「落とし物として届いている」旨を伝えて貰う必要がありますが、警察はそこまではしてくれないように思いますね。
運転免許証の場合は警察は情報を押さえていますが、わざわざ緊急連絡先の電話番号を調べて電話をしてきたり、郵送で送ってくれたりはしません。私は実際の経験が無いのでわかりませんが、防犯登録のある自転車が逸失物として発見された時には、警察はハガキで通知をしてくれましたので、やってくれるとしてもそこまででしょう。本人が保管場所に行って受け取るまでは預かられた状態で、そのまま期限が切れたら「失効による返納」と見做されて回収されてしまうでしょう。

ずっと預かってるわけではないです。
一定期間が過ぎたら処分されます。