普通二輪免許持ちで、本日普通免許の卒検を終えました。警察署で免許更新する際は

普通二輪免許持ちで、本日普通免許の卒検を終えました。警察署で免許更新する際は後日交付になるのですが、交付される前に車に乗れば無免許運転になりますか？

免許証が手元に届くまでは無免許運転になります。
なお、追加で免許を取得する場合は併記という運転免許試験手続きの一種で、更新ではありません。
併記手続きが警察署で出来るところは非常に少ないですが、あなたが行こうとしている警察署で併記手続きが出来ることは確認済みですか？

既に２人の回答者が併記は警察署では無理との回答してますが
私は、質問者さんと逆で普通免許持ちで普通二輪免許を
管轄する警察署で併記しました。
お住まいによっては、併記可能と思います。
但し、警察署で併記すると申請から交付まで
3～4週程度かかるようです。
急ぎでなければ警察署で併記もありかと。
問合せてみては如何でしょうか？
交付前の運転は、当然無免許扱いとなります。

「更新」ではなく「併記」という手続きになります。
技能試験免除、学科試験免除でも「適性試験」（視力検査）があります。
「併記」は試験という扱いなので、試験場でしか行えません。（平日のみ）
また、併記の受付時間が限定されていることもありますので、お住まいの都道府県警察のHPなどで確認してください。
併記の手続きをする前に普通自動車や軽自動車の運転をしたら、当然「無免許運転」です。まだ試験を受ける前の段階です。

手持ちの運転免許証に種類を追加する手続きは「併記」と言い、更新の手続きではありません。併記は警察署ではできませんし、基本的に即日交付です。つまり、質問者さんが危惧している状況にはなりません。