原付免許証持ち、四輪学科試験コロナ延長スタンプ教習所を卒業し

原付免許証持ち、四輪学科試験 コロナ延長スタンプ
教習所を卒業して今度試験場で四輪の学科試験を受けようとしております。私は原付の免許を取得しているので学科試験の際提出しなければな
らないとおもうのですが、その原付免許証は更新期限が今年の6月までなんです。コロナの影響で免許更新出来ず更新期限を9月まで延長するスタンプを裏側に押して貰っています。本日、教習所の方に「更新してから学科試験受けに行かなきゃダメだ」という趣旨の内容を伝えられたのですが今から四輪取るのに更新しなきゃダメなんでしょうか？
また、私は書いてはいけないことを知らずに原付免許証の裏に現在の住所を自筆で記入してしまっています。そのことも関係あるのでしょうか？

「今から四輪取るのに更新しなきゃダメなんでしょうか？」
ええ。でないと「今から四輪を取る」ことができなくなります。
質問者さんは、本来は6月末に期限が切れる前に更新手続きをとらなくてはならなかったところ、COVID-19 対策として行われている3か月の延長手続きを取って、更新を猶予している状態です。しかし、この手続きは期限の延長の手続きなのではなく、申請書に「更新手続きの開始」と書かれてあったように、期限内に更新手続きを開始したから失効はしないよ、と宣言をしているだけの手続きに過ぎません。質問者さんは既に更新手続きに着手してしまっているので、それを完了させないとそれ以外の手続きができなくなっているのです。
手持ちの運転免許証に種類を追加する手続きは併記と言いますが、この併記も、更新手続き「中」の人は更新手続きを完了させないと行えません。つまり、質問者さんが指定教習所の普通自動車のコースを卒業しても、そのままでは併記の手続きが取れず、試験を受けさせて貰えない、と言う事です。
「私は書いてはいけないことを知らずに原付免許証の裏に現在の住所を自筆で記入してしまっています。そのことも関係あるのでしょうか？」
うわー、まずい状態にしましたね。免許証の裏面は公安委員会の使用欄で、交付を受けた者が勝手に記載をしていい場所ではありません。そこに何かを勝手に書いてしまったら、免許証を「棄損」した扱いになり、再交付申請が必要になります。しかし、再交付申請も、仕掛中の更新手続きを完了させてからでないとできないんですよね。
まあ、既に書いてしまったものはどうしようもありませんし、それとは関係なく更新手続きは終わらせる必要があります。勝手に記載をしたことで、更新窓口では何か小言を言われるでしょうが、更新や併記で免許証は新しくなるのですから、正直に申告をすれば受け付けて貰えるでしょう。