運転免許をとりたいのですが身分証明できるものがありません。仕事を辞めたので、

運転免許をとりたいのですが身分証明できるものがありません。
仕事を辞めたので、保険証がなくなり、身分証明できるものがなくなったので免許を取りに行こうと思ったのですが、免許をとるため
の身分証明できるものがありません。
マイナンバーカードは発行手続きはしましたが届くのに時間がかかります…。
どうしたらいいですか？

社会保険加入していた職場からの離職であれば、以下のものを受け取れます。
・年金手帳（職場で預かっていた場合は返却されます）
・雇用保険被保険者証
どちらも顔写真がなく単独で本人確認証明としては使えないので、セット提示で使うことになります。
まだ離職直後なら、事業主手続や給与計算（源泉徴収票発行）がありますので、これらが済んでから書類到着を待たないといけません。
職場によって違いますが、書類到着までだいたい２週間～１ヶ月程度かかります。

住民票の写しは本人確認書類には使えません。急いで国保に加入しても、健康保険証はすぐには出ないでしょう。しかし、1週間で取れるパスポートの申請にも本人確認書類が必要になりますから、今の状態では申請はできませんね。
まあ、健康保険証が来るまで待つしかないですよ。

教習所に問合せされてはどうでしょうか！？

社会保険から国民健康保険に変わります。
強制的な物ですから手続きをすれば保険証が発行されます。
http://www.city.katsushika.lg.jp/faq/1007656/1008045/1008115.html

保険証が無いと、何かあった時に苦労しますよ。
病気とかもあるけど、突発的なケガの時。
血が出たぐらいじゃ大した事無いケド、骨が折れたとか。
役場に行けば何とかしてくれますので、早々に行きましょう。