運転免許証の更新ですが平成27年の10月3日に違反して今年の1

運転免許証の更新ですが平成27年の10月3日に違反して今年の10月3日に５年になりますが誕生日が10月13日だと青色5年でしょうか？

「平成27年の10月3日に違反して今年の10月3日に５年になりますが」
認識を間違えています。ゴールド免許に必要なのは「5年間の無違反」であって、最後の違反から5年が経過する事ではありません。平成27年(2015年)10月3日が最後の違反であるなら、無違反期間が始まるのはその翌日の10月4日からなので、5年が無違反で経過するのは2020年10月3日の24時、つまり「今年の10月4日で5年になる」んです。その日以後に基準日が来る更新または併記で、ゴールド免許になれます。
「誕生日が10月13日だと青色5年でしょうか？」
更新の場合は、手続き日ではなく、更新期間中の誕生日の40日前が基準日ですので、9月頭くらいになりますね。でも、今年のその時点では5年の無違反を満たしていませんから、ゴールドにはなりません。3年になるか5年になるかは、違反歴の詳細で決まり、過去5年間の違反内容が3点以下のもの1回だけなら5年、それ以上なら3年です。

他に違反が無くその違反の点数が3点以下であれば「青の5年」(一般更新者)ということになります。