普通2種免許と自動2輪免許をダブルで免許センターで取ることは、できますか？

普通2種免許と自動2輪免許をダブルで免許センターで取ることは、できますか？
いずれも教習所卒業です。

出来ますよ。
私「大型二輪」＋「牽引一種」同時だったw

指定教習所では、その2つをセットで教習するようなコースは設定されないでしょうから、片方ずつ申し込んで履修することになるでしょうね。同時に申し込めば、入学金分くらいは割引があると思います。
指定教習所の卒業後、本免許試験場で複数の種類の免許を同時に併記することはできます。試験手数料は種類の数分支払いますが、試験自体は一度しかしません。交付手続きの時点では交付手数料2,050円に加え、2つ目以降の種類ごとに200円の併記手数料が追加になります。2つ同時なら2,250円ですね。
たいていの教習所は二種免許の教習体制が貧弱で、平日の昼間を全て潰す看護が無いと通えないと思います。夜間や週末は、一種免許の教習が優先され、二種の教習はなかなか入れてくれないものです。時間もあまり自由にはならないので、仕事帰りに教習所に寄って、などと考えているとしたら無理でしょう。二種の学科教習の時間割も事前によく見ておきましょう。平日も週末も、毎日昼間に行かないと履修できないような時間割であることが多いですからね。

複数免許の「併記」を同時に行うことができます。
免許交付手数料がちょっと高くなるんじゃなかったかな。

技能試験免除ならば勿論可能です。
ちなみに最初に取得する二種免許が今回の普通二種免許である場合は二種免許について学科試験がございます。
その場合について、学科試験に合格した場合は両方同時に併記となります。
万一そうでなかった場合は二輪免許のみ併記となり、後日普通二種免許は再受験となります。

可能です。
別々で免許を得るより安くなります。