運転免許証と会社の保険証をなくしてしまったのですが、この場合どのような手続き

運転免許証と会社の保険証をなくしてしまったのですが、この場合どのような手続きを取るべきなのでしょうか？
財布ごと置き引きにあってしまい、おそらくもう戻ってくることは無いと思いますので、同時に再発行の手続きもしたいのですが、紛失届の手続きと再発行は1日で行えるものでしょうか？
初めて紛失したので、どのような処理をしたらいいのか分からず困っています。
分かる方、ご回答頂けると助かります。
宜しくお願いします。

まずは会社に電話で連絡です。社保の場合は、紛失報告も再発行申請も、会社経由での手続きになりますからね。そして、警察署に行って運転免許証の紛失を届け出る事です。この2つは逆順でも構いませんが、どちらも急いで行う必要があります。
併せて、役場、取引先金融機関、クレジットカード会社に「保険証と免許証を紛失したので、それを提示して変更手続きを依頼されても対応しないでくれ」との連絡をしておきましょう。でないと、勝手に誰かと結婚させられたり、勝手に住所を移されたり、勝手に届出印を改印されたりする危険があります。
その後、他に本人確認書類が無いなら、まずは保険証の再発行を受け、次に運転免許証の再交付申請ですね。運転免許証の再交付申請で本人確認書類が必要になりますから、逆順は無理でしょう。

警察に届けを出しますよね。免許についてはその時に警察で聞いて下さい。保険証については健保組合に聞いてください。