新しい会社に中途採用され入社してまだ3ヶ月なのですが、運転免許の更

新しい会社に中途採用され入社してまだ3ヶ月なのですが、運転免許の更新時期が来てしまって、警察署に行かなくてはなりません。有給はまだ使えない状態なので、平日に行くとすれば欠勤扱いになるのでしょうか？欠勤
になると精勤手当が付かなくなるようなので、それはなるべく避けたいです。
土日に行くとすれば、田舎なのでかなり遠くにある運転免許センターまで行かなくてはなりません。何かいい方法は無いでしょうか？

埼玉県の免許センターは鴻巣市にあり、
一応、県の中央に位置してますが、
同じ県内なのに、片道２時間以上かかる
地域もあります。
それでも免許センターが指示されていれば
行かなくてはなりません。
そういう「きまり」なんです。
欠勤にされたくなければ、土日を
利用するしかありません。
会社でも、まだ有給が取れない「きまり」でしょう？

あなたの言う「いい方法」とは、土日に行けて、遠くの免許センターへ行かなくていい方法ですよね。残念ながらないと思います。
個別に会社に相談するしかありませんね。

有給が取れないのであれば、遠くても土日に行くのがベターだと思います。
警察署で更新する場合は、更新の手続きと講習を別の日に受けなければならない場合もあるので、もう一度平日に行く事も有り得ます。
（即日交付にならない場合もある）
運転免許は個人の資格なので、更新を理由で休むのは欠勤です。
運転が必須の仕事だとしても会社から
｢土日に行けるじゃん｣と言われたらそれまでですね。

会社に相談してください。
仕事にクルマを使用する会社なら、欠勤扱いはしないところが多いですよ。
ここで、あれこれ言われてもだれも明確な回答はできません。
平日行けないなら、日曜開設日に行くしかないので、免許センター、運転免許試験場、警察署に問い合わせてください。

今後、在籍中は社用でしか自動車を運転しないと契約をし、業務の一環として平日に更新に行けば良いのではないでしょうか。