運転免許証の初回更新の更新場所について - 免許取得時東京都に住んでいたのです

運転免許証の初回更新の更新場所について
免許取得時東京都に住んでいたのですが、最近埼玉に引っ越しました。
埼玉には更新できる場所が遠くにあり、私は都内に近い場所に住んでいるので東京のほうが断然近いのですが、この場合都内の試験場に行ってよいのでしょうか。
電話をかけても自動案内のみでオペレーターにつながらないので聞くことができず困っています。
また、住所変更には保険証のみで大丈夫でしょうか。

免許証に登録の住所は現在はまだ東京都のまま、ということですかね？
であれば、更新時に住所変更をせずに東京都のままとするのであれば、東京都での更新手続きが出来ます。
更新時に住所を埼玉県に変更をするのであれば埼玉県で行うしかありません。
どーしても東京で更新手続き押したいのであれば、更新時は住所変更をせずに東京都の住所のまま更新手続きを行い、更新後に警察署で住所変更の手続きをすればよいのではないかと。
この場合は表面の住所は東京都で、裏面に変更後の住所が記載されます。
(免許証の登録住所は勿論埼玉県に変更されています)
住所変更のための必要書類は、新住所が記載されているなら健康保険証で大丈夫です。
https://www.police.pref.saitama.lg.jp/f0110/menkyo/kisaihenko.html

確認ですが、免許の住所を東京都のままにしたいと言うことです？
それとも更新は東京で住所変更は埼玉ですると言うことですか？
まず、通常の流れです。
通常更新年の誕生日数カ月前に更新はがきが来ます。
最近埼玉に引越したとありますが郵便物の転送届はしましたか？
出していれば更新ハガキは来ますがその時点で埼玉県民とバレるので東京都では更新できません。
もし、更新で東京でしたいと言うなら直近の日付のついた東京で受け取った郵便物があれば更新できます。
更新後に埼玉の警察で住所変更は変更はできます。
優良免許なら東京都の住所で他県の更新はできましたが、コロナ禍で他県の更新はできなくなりました。
因みに免許証の住所を変更しないでいると道路交通法違反になり2万円の罰金になります。
基本出来ないと思って鴻巣迄いってください。

住所変更に必要な物を質問しているという事は、まだ住所変更手続きをしていなくて、更新後には埼玉の住所にしたいという事だと解釈します。
この場合、埼玉の免許センターに行かなければなりません。必要書類は住民票です。免許センターによっては、住所の記載がある（手書き不可）保険証や、公的機関から送られてた書簡等で代用できるところもありますが、埼玉の情報はわかりません。しつこく電話するしかないですね。

運転免許は都道府県の管轄です。
質問者さんの運転免許証に記載されている住所が、埼玉県に変わっているなら、埼玉県でしか更新はできません。
逆に、東京都のまま変えていないなら、東京都でしか更新手続きはてきません。
運転免許証の住所変更に何が証明書として使えるかは、都道府県により異なります。健康保険証に住所が印刷されているなら、使える可能性は高いと思いますが、個別に窓口での確認が必要でしょう。

いいえ。鴻巣に行かなければなりません。
私も鴻巣より都内の方が近いので、涙を飲んでいますが…