運転免許の更新について、期限切れになってもやむを得ない理由があるときは期限を延

運転免許の更新について、期限切れになってもやむを得ない理由があるときは期限を延ばしてくれる特別条項について教えてください。
これは、仕事が忙しくて更新に行けない場合も含まれますか？
ずっと休日も連勤で上司に言っても更新のための休みを許可してくれなかったようなケースです。
この場合、上司にその内容証明を一筆書いてもらえば認めてもらえるのですか？
この特別条項はどのような仕組みか教えてください。

期限切れになっても「延ばしてくれる」というわけではありません。
やむを得ない理由とは、例えば「入院していた」とか「長期で海外にいた」など、どう頑張っても更新に行けなかった、という人が対象ですで、それを証明する書類などあ必要です。（失効から半年以上の場合）
仕事が忙しかったというのは「やむを得ない理由」にはなりません。更新期間は
2ヶ月もあるわけです。
2ヶ月間まるっきり休みのない会社なんてありますか？

長期の絶対安静の入院
簡単に帰ることのできない海外出張など
2か月休めないならそれは労働法の問題ですわ

2か月間土曜日以外休めないってことないでしょう？
なのでやむを得ない理由になりません。

「期限切れになってもやむを得ない理由があるときは期限を延ばしてくれる特別条項」
何か勘違いをしているようですが、運転免許証の有効期限の延長はできません。できるのは下記のいずれかです。
・COVID-19 対策として臨時に行われている、俗に「期限の3か月延長手続き」を取る、これは手続き上は、期限までに更新手続きを開始したことにして、期限切れを防ぐ手段で、期限が切れてしまったら不可。
・期限を過ぎてしまったので、失効再取得の手続きで復活させる。あくまで免許を、試験を受けて取り直す手続き。ただし、失効から6ヵ月以内なら無条件に、失効から3年以内なら条件つきで、実質的に無試験での再取得ができる。
おそらく、質問者さんが言っているのは後者の手続きのことでしょう。
「仕事が忙しくて更新に行けない場合も含まれますか？」
6ヵ月を過ぎた場合の失効再取得の理由にはなりませんが、6ヵ月以内なら理由は問われません。なお、失効再取得の手続きは平日にしかできません。
「休日も連勤で上司に言っても更新のための休みを許可してくれなかったようなケースです。この場合、上司にその内容証明を一筆書いてもらえば認めてもらえるのですか？」
いいえ。3年以内の再取得の条件には「やむを得ない理由」が要るのですが、これは外国にいたとか、入院していたとか、刑務所にいたとかで、更新手続きを取ることが常識的に困難だったケースを指します。国内の勤務先で休みなく働かされていた、などの理由では認められません。
そもそも、そういう状態なら労基にチクって会社を潰して貰うべきなのであって、それを容認するブラック社員の救済をする必要はありません。あくまで、本人が、自己判断で、更新に行かなかっただけです。
免許を失ったことで生じる再取得のための数十万円費用を賠償するよう、会社や上司を訴えるのは自由ですが、その場合も裁判で「物理的な拘束を受けていたわけではなく、無断欠勤してでも更新をすることは出来たはず」と、本人の責任が問われるので、全額が認められることは無いでしょう。それに、仮に裁判で勝てても、賠償命令が確定するだけで、官吏が代わって取り立ててくれる訳ではないので、結局は訴訟費用の分だけ損をして終わるでしょうね。

当たり前ですが認められません。
常識的に考えてみれば当然のことです。

以下引用)
◆やむを得ない理由があり、失効後6か月を超えて3年以内の手続
詳細
申請期間
やむを得ない理由（海外旅行、入院、在監、公安委員会がやむを得ないと認める事情等）がある方で、運転免許証の有効期間が過ぎてから6か月を超えて3年以内で、やむを得ない理由がやんだ日（帰国、退院等）から1か月以内
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/shikko/shikko05.html
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/shikko/shikko01.html
引用終わり)