免許更新についてです。7月末に都内から埼玉に引っ越しをしました

免許更新についてです。
7月末に都内から埼玉に引っ越しをしました。
免許の住所変更はまだしていません。
11月が誕生月になり、免許更新のハガキが都内の免許センターから届きました。
私は今年の4月ごろに違反をしており、違反者講習があるので免許センターへ行かねばならないのですが、この場合都内の免許センターに行くべきでしょうか。
埼玉の鴻巣にある免許センターの方が近いので、できれば鴻巣で済ませたいと思っています。
その時に住所の更新も一緒にできたらと思っていたのですが、可能でしょうか？
それとも先に警察で住所変更をしてからのほうがいいのでしょうか？
お手数ですがご回答お待ちしております。

運転免許証の更新手続きは、免許証に記載された住所の都道府県でしか行えません。なので、埼玉で更新手続きを取りたいなら、運転免許証の住所を埼玉に移さないといけません。事前に警察署などで変えるものですが、更新と同時でも構いません。住民票の写しを持参しましょう。

更新と一緒に住所変更出来ますよ。
住民票など新住所の証明になるものを持っていけば更新+住所変更がまとめて出来ます。
自分も今まで2回ほど引越し先で更新した事あるので大丈夫だと思います。
警察署で事前に変更する必要はありません。

新住所を証明する何らかを持って、埼玉に行けば
住所変更+更新+違反者講習=三年ブルー。

住所変更が先。

住所を一緒に変えるのであれば、鴻巣で問題ありません。変更も現地で可能です。
なお、時間はハガキで書かれた都内と鴻巣では異なるため、電話やネットなどで調べることをオススメします。