免許証を紛失してしまったのですが、その場合最寄りの警察署で再発行できますか？

免許証を紛失してしまったのですが、その場合最寄りの警察署で再発行できますか？
また行ったその日のうちに発行することは可能でしょうか？

それは県によって違う
試験場近くの警察署ではできないこともある

紛失を届け出るのは最寄りの警察署で大丈夫でしょう。しかし、紛失による再交付の申請がどこで出来るのかは、都道府県により異なります。例えば、私の住む福岡県では、更新手続きは遠隔地の一部の警察署でも可能ですが、再交付手続きは県内4か所の試験場でしか受け付けて貰えません。
即日交付になるかどうかも、その窓口次第です。免許証の交付機械が設置されていれば即日でしょうが、単に手続きを中継するだけの窓口なら数週間かかるでしょう。

平日であれば警察署でも可能です。