運転免許証の住所変更https://www.keishicho.metro.

運転免許証の住所変更
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/kisai00.html
2 新しい住所が確認できる書類（確認）
住民票の写し（マイナンバー（個人番号）が記載されていないもの）
マイナンバーカード（個人番号カード）
健康保険証
在留カード
消印付郵便物
など
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単身赴任なので転出転入するつもりはなく、新しい住所を確認できる書類として「住民票の写し」「マイナンバーカード」は使えません。引っ越したばかりなので新住所あての「消印付郵便物」や「公共料金の毎月のお知らせ」のようなものもありません。
唯一、不動産屋から渡された新住所のアパートを契約した書類があるのですが、そのようなものでも、警察署で運転免許証の住所変更ができますか？
できないなら、「消印付郵便物」や「公共料金の毎月のお知らせ」が、そのうち来るまで待つだけではありますが。。。

郵便物が来るのを待つ？
単身赴任ですから家族に郵送してもらうとか、自分で郵送するとかは？

運転免許は、県警の管理じゃなかったでしたっけ、
住所が決またら最寄りの警察に聞かれてはいかがでしょうか。

アパートの契約書が住所変更の根拠になるかは受け付けた署員・職員の判断になりますね。
「単身赴任なので転出転入するつもりはない」ならあえて運転免許の住所変更をしない、とゆー選択肢もアリかと思います。

契約書類では無理でしょうね。それは「住む権利」の証明にはなっても、現実にその場所に住んでいることの証明にはならないので。