普通免許と大型免許を持っている人が、やむを得ない理由がなく更新

普通免許と大型免許を持っている人が、やむを得ない理由がなく更新期限から6ヶ月以上１年以内の間に失効していることに気づきました。
１日でも早く普免は再取得したいのでこれは一発試験で再取得し、一発で合格する自信のない大型に関しては普免取得後に教習所に通おうと考えています。この場合、免許センターで発行してもらう仮免許は大型の仮免で普通もカバーできるものでしょうか？

現在は中型・大型にも仮免許が必要です。そして質問の状況では、該当者は「大型仮免許」か「普通仮免許」の交付を受ける事ができます。両方を受ける事も可能だとは思います。ただし、いきなり大型自動車の受験はできないので、その仮免許で普通自動車免許のための練習をし、普通自動車免許を先に取ることが前提条件になります。
ここで、大型仮免許でも普通自動車の練習をすることはできるのですが、同乗指導者には大型自動車の運転が可能な人を充てなくてはなりません。普通自動車の練習だからと、普通自動車免許持ちを充てて練習することができないのです。また、仮免許は通常、6か月間しか有効ではないので、普通→大型の取得を考える人がよほど優秀でなければ、せっかく大型仮免許の交付を受けても、それが必要になる前に期限切れになることでしょう。よって、普通仮免許を受けて普通自動車で練習をして普通自動車を受け直し、大型については後日教習所に通い直す、と言うのが一般的になるでしょうね。
問題になるのが、過去に失効再取得をして大型自動車免許しか持っていない人だとか、制度変更のせいで中型8t限定の免許しか持っていない人です。仮免許は、持っている種類の免許に対応するものしか貰えません。大型しか無い人は大型仮免許、中型8t限定しかない人は中型8t限定の仮免許しか貰えません。しかし、それで練習するのが普通自動車であるにも関わらず、同乗指導者は該当の仮免許と同等の資格者でないといけないのです。
よって、仮にこういう人たちが仮免許だけ貰って、教習所で第二段階から開始しようとしても「うちでは対応できない」と断られる可能性が高く、苦労して一般試験に挑戦するか、仮免許を放棄して最初からやり直すことになるでしょう。

お考えの通り、交付される仮免許は「大型仮免許」です。
普通車の練習もそれで可能です。
普通免許試験に合格した暁には、有効期間内の大型仮免許は「返却」されます。
但し、大型仮免許を持っていたとしても普通免許の仮免入所は原則として出来ません(理由は調査中)ので、第一段階からの入所(但し大型仮免許の有効期間内ならば修了検定は無い)となるでしょう。
かなり綱渡りなプロセスですのでその点はご留意を！

大型仮免許なら普通〜大型すべての練習及び試験が可能です。車両と指導者が用意できるなら準中型→大型の方が安上がりですね
条文は以下

道路交通法87条
2大型仮免許を受けた者は大型自動車、中型自動車、準中型自動車又は普通自動車を、中型仮免許を受けた者は中型自動車、準中型自動車又は普通自動車を、準中型仮免許を受けた者は準中型自動車又は普通自動車を、普通仮免許を受けた者は普通自動車を、練習のため又は試験等において運転することができる。（以下省略）

運転免許を失効するなんて、普段から運転しないからだよ。
運転しないなら、別に無理に取得することはないよ。
運転免許なんか、なくても生きていける。