免許証の更新のタイミングで引っ越して住所が変わっただけで住民票に変わり

免許証の更新のタイミングで引っ越して住所が変わっただけで住民票に変わりはないことを警察署で説明して更新月の延長してもらったのですが、更新の手続きしてもらう際に今の住所が免許証に記載されてしまいました。
変更手続きの際に一緒に写真変更もしてもらいたいのですが、手数料は２つ変更するので倍になるのでしょうか？

つまり、住民票の住所がAで、現住所はB、ただし住民票はAのまま移しておらず、他の方法で現住所の証明を行って警察署などで手続きをし、免許証の裏面の住所がBになっている、そういう状態で更新手続きを取ったら、免許証の表面の住所がBになった、と言う事ですよね。だったら、それは当たり前の事です。
質問者さんは、運転免許を管理する警察に対し、A から B への住所変更をした、と手続きをしたので、警察が把握している住所が B に変わってしまったのです。更新手続きでは、それまで裏面に追記して済ませていた記載事項の変更内容が、表面へ反映されますから、住所として B が印刷されることになります。別に、質問者さんが、何かの意図をもって住民票を残していたかどうかなどは、警察は配慮しません。届出られた最新の住所を把握しているだけです。
そして、今の免許証の写真が気に入らないので再交付申請をしたいが、その際に住所をAに戻してもらいたい、と言う事ですよね。であれば、再交付申請の際に、Aの住所の証明書類を持参して手続きを行えば可能です。
警察の立場では、A→B と転居した人が、再び A に転居し直す、と言う認識になるので、新規に A へ隠居するのと同様に、A の住所の証明書類が要ります。住民票を A から移していないなら、住民票の写しが使えるでしょうね。
手数料については、住所変更の手続きは無料です。B に転居した時もそうだったはずですね。なので、再交付と同時にするなら、写真変更のための再交付の手数料分だけで良いことになります。
注意点として、A と B が異なる都道府県の場合、住所を A に戻す手続きは、A の都道府県内でしか出来ません。再交付と同時にするなら、A の都道府県で再交付をしないといけません。
また、写真を変えてもらいたい、と言う理由での再交付申請は可能ですが、その際に持ち込み写真が使えるかどうかは都道府県で扱いが異なり、多くの都道府県では持ち込みは不可で、試験場などで撮り直した写真にしかできません。

免許記載住所は住民票の住所と同一にする人が多い。
それは免許取得時に身分証を求められるからでもあるが、長期の出張など一時的に別の場所に住む関係なんかで住民票住所と異なる場所に変更する事も可能。
その場合、免許証の裏側に新住所を記載されるだけで免許証その物は作り替えない。手数料は無料。
更新などで免許証を作り替えた時に裏書きの住所が表書きになる。

写真が気に食わないなどの理由で更新などとは異なるタイミングで免許証を作り替えたい場合、再交付の手続き。
以前は写真が気に入らないなどの理由は認められなかったが、最近変わった。費用は２５００円程度。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/saikofu01.html
質問者さんは、住所変更だけで良いのか、費用をかけても免許証を作り替えたいのかを考えて処理すれば良いでしょう。
住所変更だけなら無料ですし、再交付と住所変更を同時に処理した場合も再交付費用のみで、住所変更の費用はかかりません。

記載事項変更は警察署で免許証の裏に手書きで書かれてハンコ押されて終わり。
無料。
免許証表面への反映は次回更新の時。
写真を変更ってのは出来ないから紛失などの理由で再発行しないとダメなのではないのかな？
その場合は免許証番号が一部変わるのでシステム連続無事故無違反記録がリセットされたはず。