現在持っている免許(準中型免許AT限定→準中型AT限定解除)の書き換え手続きを

現在持っている免許(準中型免許AT限定→準中型AT限定解除)の書き換え手続きを行わなければならないのですが、
教習所の日程や仕事都合での引越しが重なり、無事教習所の卒業検定は引越し前に合格する事ができたのですが、肝心の免許書き換えや転出、転入の手続きをすることができないまま引越し先に来てしまいました。
引越し先の運転免許試験場が私自身車がない上に場所が住まいからかなり遠方であることを考えると引越し前の地域の運転免許試験場で手続きをしたいと考えております。
引越し済みでも市役所に転出届を提出していなければ引越し前の地域で手続きは可能なのか、また可能な場合の転出、転入、免許書き換えの3種の手続きを行う順番をご教授頂きたいです。よろしくお願いします。

指定教習所の限定解除審査の合格証は、3ヵ月しか有効ではありませんが、大丈夫ですか？。のんびりしていたら権利を失いますよ。
限定解除審査は、免許証に記載されている住所でしか行えません。よって、今のまま旧住所を管轄する窓口に行くか、住所変更手続きを併せて行うことにして新住所を管轄する窓口に行くか、の二択です。
そして、運転免許は都道府県の管理で、住民登録は市町村の管理であり、住民票データは共用されていません。転居に伴う転出・転入手続きの有無は、運転免許の手続きには直接の関係はありません。ただ、新住所の証明は口頭申告では駄目で証拠書類が要り、引っ越し直後ではそれに使えるものが住民票の写ししかないのが普通なので、引っ越し先で手続きをしたければ、転出・転入手続きで住民票を移動させる必要があります。
質問者さんの場合は、下記の二択ですね。
・このまま旧住所の窓口で限定解除審査を受ける。
・引っ越し先に住民票を移し、住民票の写しを取得し、新住所の窓口で限定解除審査を受ける。
住民票の異動は、旧住所の役場で転出手続き→新住所の役場で転入手続き、と言う流れになります。
限定解除審査の窓口について、免許証の裏面に解除の文言を記載するだけで免許証の作り直しはしません。ただ、だからと言って最寄りの警察署で出来るとは限らず、運転免許試験場に出向く必要があるかも知れません。新旧住所のそれぞれで、窓口がどこであるかを事前に調べておきましょう。

いま、運転免許を持っているわけですから、
免許に記載の住所の都道府県でしか限定解除の免許は発行されません。