警察署で免許更新や免許併記すると即日発行できずに遅くなると聞きました。

警察署で免許更新や免許併記すると即日発行できずに遅くなると聞きました。
普通免許から中型にした場合は、新しい免許証が車で中型乗れないんですか？

併記出来るけど後日交付の警察署は、新免許証が来るまでは旧免許証の裏側に区分変更等の条件を記載してくれるので、旧免許証で運転可能です。

免許証の併記は都道府県によって、警察署で出来る場合があります。
調べると京都府などは警察署で出来るみたいですね。
まず、それが出来る都道府県なのかを調べた方が良いと思います。
更新の場合は、後日交付されるまで運転は通常通り出来ます。
併記となると、警察署で申請すると1ヶ月くらいかかるそうですが、それまで運転をしていいかどうかは不明です。
申請をする警察署に問い合せた方が確実に分かると思います。

警察署で併記出来る……………離島とか？本当に有るのかな？
という印象。
どっちにしろ免許証に区分記載や限定解除記載がない状態で運転すれば無免扱いになる。
更新に関しては、受付日起点で有効期限が若干延長された旧免許証などで運転が可能で、その間に更新された新免許を受け取る方法。
段取り通りこなせば運転できない期間は発生しない。

更新や住所変更は即日ですが、免許の種類の変更は免許センターでなければ出来ません。

当然乗れません。
警察署には免許証を作る機械も権限もないです。
預かった免許証を更新センターに送って、更新センターで作った免許証を送り返してもらって渡す。取次業務しか出来ません。