普通免許を持っていて、125ccバイクの免許を取る場合、免許

普通免許を持っていて、125ccバイクの免許を取る場合、免許取得日が違うと免許更新日も別日で2回あるのでしょうか？
それとも普通免許と同じ日に統一されますか？

統一されます。
日本の運転免許は15種類ありますが、1枚の免許証に集約されていて、有効期限はその免許証に対して設定されます。よって、沢山の種類を持っていようが、1種類しか持っていまいが、有効期限はその人に1つだけです。
有効期限は、新規のほかに併記でも「3回目または5回目の誕生日の1か月後」に設定される運用で、最初に取得した後、別の種類を追加で取得すると、その追加の時点で見直されます。よって、免許の追加を続けていると、なかなか「更新」をする機会が来なかったりします。

取得予定の小型限定普通二輪免許の更新日に統一されます。
すでに免許を持っている人が新たに免許を取得したときの有効期限は
・新たな免許の取得日から3回目の誕生日の1ヶ月後
・新たな免許の取得日から5回目の誕生日の1ヶ月後
のどちらかとなります。

普通車も一緒にバイクの免許を取得した日から3回目の誕生日の前後一ヶ月が更新期間となります。2回にはなりませんので、安心して下さい。

バイクの免許を取得した年月日から三回目の誕生日の一ヶ月後までが
免許証の有効期限。更新は誕生日の前後一ヶ月の間に更新手続きをする。