運転免許証の更新について - 私は現在東京に住んでいるのですが、免許証は福井県

運転免許証の更新について
私は現在東京に住んでいるのですが、免許証は福井県公安委員会となっております。可能であれば東京で更新したいのですが、この場合更新するときは一度福井へ帰ってからでなければいけないのでしょうか。

東京に住所変更すれば東京での更新が出来ます。
その場合東京の住所の住民票の写しを持参して
免許証の住所変更と更新が同時に出来ます。

記載事項変更(住所変更)をしてから、更新すれば、両方とも東京で可能です。
住民票が福井にあっても、いまお住まいの東京の住所に届いた消印付き郵便物で住所変更は可能です。

学生か単身赴任の方でしょうか？
住民票が東京なら東京で、福井なら福井で更新することになります。
ゴールドなら他県でも更新できるようです。

東京住所への免許記載住所変更と更新を東京の施設で行えばいい。
福井へ帰る必要は有りません。
それと、住所変更が終了していても次の更新までは免許証は作り替えず裏書きなので、免許の右下の発行者が福井の公安になっていたとしても免許記載住所が現状どこなのかの証明にはなりません。
もし、裏書きで東京住所になっているならすでに東京への住所変更処理すみになるので黙って待っていれば裏面記載の東京住所へ更新お知らせハガキが到着します。
東京の更新可能施設は複数有りますが、それそれ特色が有るので好みの場所で。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/koshin/kousin00.html
東京都の場合、東京住所の証明書類として消印つき郵便物も認められているので住民票の移動は不可欠ではない。
手元に適当な物が無いなら自分で自分宛に封書でも送る。
流石に差出人が自分だとあからさま過ぎるんで、その辺は適当に。

免許証の記載住所を東京の住所に変更すれば、東京で更新できるかと。