免許更新のタイミングで、同時に免許の住所を変更したいのですが、必要

免許更新のタイミングで、同時に免許の住所を変更したいのですが、必要書類が
住民票→前の住所のまま
保険証→前の住所のまま
消印付きの郵便物→ない
電気、ガス、水道の料金→同棲していて彼氏名義
持っていけるものがなにもありません。
免許更新のはがきはダメなのでしょうか？
ちなみにマイナンバーカードも通知カードのままなので使えません。
順番としては、住民票を変えてからその住民票をもって免許更新に行く流れですか？

まずは住所変更の手続きを現在住んでいる所の役所で済ませましょう。
詳しくは↓を参照
https://hikkoshi.suumo.jp/oyakudachi/2030.html?vos=dia031yhsszm021000000zzz_general-ag-hikkoshi-dsa&vos=dia031yhsszm021000000zzz_general-ag-hikkoshiDSA&yclid=YSS.1001106481.EAIaIQobChMIxvfpoePD8QIVDNGWCh1IWgZ9EAAYASAAEgKGH_D_BwE&gclid=CM27gKbjw_ECFc6OvAodSqgGKw&gclsrc=ds

市役所で転居届に記入して住所変更する。
印鑑は必要かも。
住民票をもらって免許更新で提出する。

＞消印付きの郵便物→ない
東京都みたいに個人からの消印つき郵便物が認められている都道府県なら、今から自分で書いて投函すればいいじゃん。
葉書だと裏面真っ白もあからさまなので封書。
差出人は適当に偽造。
コンビニに行けば封筒もペンも切手も売っている。LAWSONなら店内にポストもあるからその場で終了だ。
翌翌日くらいには到着するから、それに合わせて同棲している部屋に表札出しとく。
受け取った後、中身が空でも一応開封してガワの封筒だけ新住所証明の書類として持っていけばいい。

、住民票を変えてからその住民票をもって免許更新に行く流れです。

免許の住所変更するのであればおっしゃる通り住民票を移してそれを持って行くのが一番早くて確実じゃないでしょうか