免許試験センターで書類を預かって貰ってるって子供が言うんですが、そんなことは

免許試験センターで書類を預かって貰ってるって子供が言うんですが、そんなことは可能なのでしょうか？

何の書類を預かられているのか問いただしてみては？。普通はそんな運用はしませんからね。返却されるべき書類を貰って帰るのを忘れ、それを誤魔化しているだけではないですかね。
ただ、受験票を返す代わりに住民票の写しは返さない、と言うような運用をすることは、都道府県によってはあるようですよ。