免許証の住所変更について、引っ越しで住所が変わったのですが、

免許証の住所変更について、引っ越しで住所が変わったのですが、
免許証とマイナンバーカードがあれば住所変更届できますか？

都道府県次第です
これから顔写真付き身分証を持つなら 簡単に作れる
小型特殊免許かパスポートは如何ですか？
マイナンバーカードは紛失時の悪用リスクが高く身分証明能力も劣ります
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11212527161
マイナンバーは人に教えると悪用されうることも覚えておきましょう
https://ameblo.jp/houki-misasa-onsen/entry-12412076244.html

そのマイナンバーカードが新しい住所になっているのなら可能です。

住民票の写し、マイナンバーカード、健康保険証、消印付き郵便物、
公共料金領収書などで、可能です。
↓ 嘘を書いちゃイケマセン！

出来ません。
カード内の情報も旧データなので無理です。新しい住所を証明する他の物が必要です。転出と転入を処理していれば何らかの書類を持っているはずです。
それらの行政処理をして、カードデータが更新されているなら可能かもしれません。そこは未確認です。(私自身マイナンバーカードを作成していないので)