運転免許証の有効期限延長について諸事情で免許センターに行けないので、郵送に

運転免許証の有効期限延長について
諸事情で免許センターに行けないので、郵送にて延長申請をしたいです。
引っ越しましたが運転免許証の住所変更する時間が取れず、そのまま旧住所の記載になっています。
このまま申請を出した場合、こちら側から郵便局に連絡して新住所に届けてもらうことは可能ですか？
また、郵便局に転出届も出しておりません。

残念ですが、有効期限の延長と言われている手続きの郵送では、免許証に記載された住所以外へのシールの送付はしてくれません。必要なら「先に住所変更の手続きをしてから、3ヵ月の延長手続きを取る」必要があります。
3か月の延長手続きは、郵送ではなく、最寄りの警察署の窓口でもできるはずですので、失効してしまう前に出向いて、住所変更と3ヵ月繰り延べの手続きをしてしまいましょう。「免許センター」には行けなくても、最寄りの警察署には行けるんじゃないですか？。それも無理なら、そもそも外出ができない状況なのでしょうから、運転の必要もないのでしょう。であれば、免許を更新せず失効させ、半年以内に再取得することを考えた方がいいでしょうね。そうすれば、再取得の時に住民票の写しを提出するので、現住所に自動的に住所を変えられます。
それと注意点として、3か月の延長手続きは、「期限までに更新手続きを開始したから失効扱いにはしないよ」と言う手続きで、実質的にはともかく、免許の有効期限自体は延びません。「更新手続き中」にしてしまう関係で、その更新手続きを完結させないと、再びの転居や併記など、別の手続きが取れなくなります。あくまで「更新を保留する」だけなので注意が必要です。
それと、3ヵ月単位で繰り延べを続けられますが、3回目のそれを失敗した場合、期限切れから半年が経過してしまい、無試験での再取得ができない状態に、いきなり陥ってしまいます。