二輪車免許（MT)を取りたいと思っています。ちなみに普通自動車第一種免許（

二輪車免許（MT)を取りたいと思っています。
ちなみに普通自動車第一種免許（AT限定）は持っています。優良です。
埼玉県に住んでいるのですが教習所で過程を納めて免許発行するためには
鴻巣市の免許センターまで行かなくてはいけないのでしょうか？
それとも警察署で発行可能なのでしょうか？

併記は鴻巣の免許センターでしか出来ません。
(警察署で出来るのは免許の更新と住所変更のみ)
併記と言っても、立派な免許試験なので。

視力と聴力に運動能力の検査と言う事になります。
実際には視力検査のみで、聴力は自分の名前呼ばれて返事すればOK。
運動能力は免許センターの中を自力で移動(階段を登るなど)が出来ればOKというシステムです。
https://www.police.pref.saitama.lg.jp/f0130/menkyo/siteisotu-nirin.html

鴻巣ですね
わたしも行きました！

全都道府県のことを知っているわけではないので「うちの県は違う」という人が出てくるかも知れませんが、一般的に警察署でできるのは更新と再交付、記載事項変更と条件解除のみです。
他の免許を追加することを併記といいますが、併記は更新ではなく受験になります。
そのため試験を実施する場所でのみ手続きできます。(警察署や更新のみ実施のセンターは不可)

資格(免許)を発行するのは警察署ではなく、免許センターだけです。

↓に書かれている通り
https://www.police.pref.saitama.lg.jp/f0130/menkyo/siteisotu-nirin.html
最寄りの警察署とは書かれていないよね？

今まで持っていた免許証に新しい免許の種類を追加してもらうことを
併記と呼びますが、この併記は単なる更新とは異なり
新しい免許の発行となるため、免許センターでしかできません。
私も免許の種類を追加するときに以前の大宮・二ツ宮試験場や
平成元年に移転された鴻巣試験場に行きました。
鴻巣試験場で走ったコース図は今でも持っています。