警察署で免許証を再発行した場合、届くまで2～3週間と書いてあったのですが、再

警察署で免許証を再発行した場合、届くまで2～3週間と書いてあったのですが、再発行を申請した日から古い免許証は無効になりますか？

再交付の手続き内容次第ですね。
紛失や盗難など、旧免許証を返納できない再交付申請の場合は、再交付申請をした時点で、旧免許証番号は無効化されます。
棄損や写真変更などの理由で旧免許証を返納できる場合、後日の新免許証の交付時に旧免許証を回収する運用であれば、それまでは旧免許証が手元にあり有効です。しかし、申請の時点で旧免許証が回収されてしまう場合もあり、この場合は何か代わりに「再交付申請中」である旨の書類が渡され、取り締まり現場ではそれを提示することで不携帯に問われずに済むでしょう。
いずれにしても、旧免許証の返納を伴う再交付申請では、免許証番号は変わりませんので、番号は一貫してずっと有効で、無効になる期間はありません。ただ、手元に免許証があるか無いかの違いがあるだけです。

新しい免許証かを届くまでは有効でしょうが、再発行の申請は紛失したとかの理由で申請したのではないのでしょうかね。