住民票のコピーを役所でもらう時、免許証などの身分証明書が必要ですが、

住民票のコピーを役所でもらう時、免許証などの身分証明書が必要ですが、身分証明書の住所が前の住所のままの場合、住民票のコピーを受け取ることはできますか？
例えば、世田谷区から港区に引っ越して免許証の住所は世田谷区のままですが、住民票は港区に移している場合、港区で住民票のコピーをもらうことができますか？

当然大丈夫ですし、マイナンバーカード作ればコンビニでも住民票が貰えます。マイナンバーカード作った方が良いですよ。

卵が先かニワトリが先かではありませんが、新住民票を使って免許証の住所変更をすることが一般的なので裏を返せば旧住所の免許証で本人確認でも問題ないと思います。(一応旧住所と新住所とのリンケージは確認取られるかも知れませんが）
免許証が無い人は健康保険カードかマイナンバーカードで対応します。

「住民票のコピーを役所でもらう時」
役所で貰うのは「住民票の写し」と言う行政文書の原本です。「写し」と名前がありますが、コピーではありませんので勘違いをしないようにしましょう。
市町村と特別区の役場が管理している住民データベース=「住民基本台帳」が「住民票」で、その内容を紙に「写した」ものが「住民票の写し」です。
「身分証明書の住所が前の住所のままの場合、住民票のコピーを受け取ることはできますか？」
可能です。そもそも、その運転免許証の住所を変えるのに、住民票の写しが必要になるんですよ。もし、運転免許証の住所が違うからと発行して貰えなかったら、運転免許証の住所変更ができないでしょ？。

本人確認ですから 住所が変わっているなら住民票の住所を変更しないといけませんね