車の運転免許を紛失してしまいました。運転免許試験場に行けばよいのですが登録

車の運転免許を紛失してしまいました。運転免許試験場に行けばよいのですが登録している運転免許の住所は宮城県仙台市の実家なのですが現在住んでいるのは愛知県名古屋市です。
そういう場合は愛知県でも再発行ができるのでしょうか？愛知県の住所に住所変更と一緒に再発行を申し込めばよいのでしょうか？
再発行が初めてなので教えていただけるとありがたいです。

現住所で再交付申請できます。
免許証の記載事項変更(住所変更)は同時に可能です。
住民票、貴方宛の消印付郵便物、貴方の住所氏名入りの公共料金の領収 等のいずれかが必要です。

「再交付」ですね。住民票が仙台のままなら、再交付も宮城県でししか出来ません。名古屋に移してあるなら、住民票の写しを持参すれば、愛知県で再交付申請ができます(自由所変更を同時にする形になります)。

まずは、交番等で紛失届。
その後、再発行の申請。

https://www.pref.aichi.jp/police/menkyo/tetsuzuki/kihen/saikouhu.html