運転免許更新ですが、持ち込み写真の場合発行に一か月かかると言われたんですが

運転免許更新ですが、持ち込み写真の場合発行に一か月かかると言われたんですが、更新期間過ぎてしまった場合、古い免許証をそのまま使えますか？

一般的には、持ち込み写真による新免許証発行に１ヶ月かかるのは質問者様の都合というよりは公安委員会側の都合なので、通常ならば発行にかかる日数分程度有効期間を延長する運用になる筈なのですがね。
但し、事前にそういった一切の特例措置を取らない事を説明され、それに合意した上での話だとすれば新免許証が発行されるまで運転は出来ないと考えられます。

裏書きしてくれるので大丈夫使えるでしょう。

さあ？。そのあたりの運用は都道府県で異なるようですので、更新窓口の指示に従いましょう。
一般的には、新免許証の引き渡しが遅れる場合、旧免許証は回収せず、いついつまで有効だとの裏書をして渡してくれ、それで運転を継続する運用が取られます。が、わざわざ持ち込み写真を使いたい、と言う我儘に対応する時は、そういう配慮をしてくれないのかも知れません。離島だから無理、と言う扱いもあるかも知れませんしね。

運転免許更新ですが、持ち込み写真の場合発行に一か月かかると言われたんですが、
可能・免許センター・警察署で延長裏書処理を施すはず